Блог

Смирнова Н. Л.
О сходстве разных поверхностей природных объектов

О СХОДСТВЕ РАЗНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИРОДНЫХ ОБЪЕКТОВ

Н. Л. Смирнова

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Исследование поверхностей природных объектов показало, что в них наблюдается сходство и различие. Нами установлено, что поверхности могут состоять из многоугольников n-гонов со значением n равным 3–18. Наиболее распространены 3–8-гоны. Регулярные сетки в кристаллических структурах, внешних формах кристаллов, координационных полиэдрах, полициклах в органических молекулах, состоят в основном из 3–8-гонов, но их частоты встречаемости меняются в существенных пределах. Изучение нерегулярных поверхностей из n-гонов у сплавов, организмов показало, что локальная координация вершин, граней при беспорядке такая же, что у регулярных поверхностей [2, 3]. Это обусловлено ограниченным значением n и соответственно ограниченным числом возможных комбинаторных вариантов. Ребра n-гонов могут быть как прямыми, так и деформированными, углы одинаковыми и различными, и лишь число вершин определяет n-гон. Но и в этом случае две вершины могут быть расположены настолько близко, что при уменьшении масштаба сливаются в одну, а при увеличении масштаба одна вершина раздваивается.

Координация вершин и n-гонов представляется формулами. Для различения формул составов и последовательностей качественную составляющую составов приводим в фигурных скобках. Например, формула {3456}<4321> означает, что полиэдр состоит из n-гонов с n= 3, 4, 5, 6, а число n-гонов в полиэдре соответственно 4, 3, 2, 1. Формула короны (координационной сферы) n-гона Гр 5 – |35346|<11111> означает, что n-гоны, примыкающие к 5-гону, по ребрам имеют значение n= 3, 4, 5, 6 и следуют в порядке, приведенном в прямых скобках. Цифры в уголках (<4>) указывают, что соседних одинаковых n-гонов нет. Формула состава короны 5-гона {3456}<2111>. Если вместо значений n поставить буквы, образуются буквенные формулы, например, {abcd}<4321>, {abcd}<2111>. Буквенная формула приведенной выше последовательностей будет |abacd|<11111>. В качественной части формулы могут быть любые элементы системы – химические, физические, биологические, социальные, а в уголках всегда их коэффициенты. Такое членение формул позволяет рассмотреть по отдельности или в разных комбинациях составляющие формул.

Рассмотрим сходство и различие поверхностей на ряде примеров. Для начала рассмотрим поверхности полиэдров с прямыми ребрами. В [1] разбиение на бластулы отображено с помощью полиэдров и проекций Шлегеля, представленных на рис. 1. Полиэдры представляют собой изображения зигот на разных стадиях деления. Нами они охарактеризованы 21 формулой последовательностей граней в коронах вершин (Вг) и граней (Гр), а также формулами составов (здесь не приводятся).

Поверхности состоят из 3–6-гонов. Буквенный состав последовательностей |a, ab, abc, abab, abac, ababc, abacd|, коэффициенты последовательностей <3, 21, 111, 4, 31, 22, 211, 1111, 41, 32, 311, 221, 2111, 11111, 33, 3111, 111111>. Приводим гранные формулы полиэдров из разных граней {3, 34, 345, 3456, 45, 456, 5, 56, 57}, и формулы корон вершин и граней из разных граней |3, 34, 35, 345, 346, 356, 3456, 45, 46, 456, 5, 56, 57|.

Поверхность многих живших ранее в природе организмов состоит из табличек в виде n-гонов. Значения n лежат в пределах 3–9. Наиболее широко распространены значения n= 5, 6. К редким значениям n относятся 3, 8, 9. Одна из наиболее симметричных поверхностей (рис. 2 а) содержит фрагменты, широко распространенные в сетках кристаллических структур. Фрагменты сетки Кеплера-Шубникова |6|<3> состоят из нескольких прямых лент из 6-гонов, окаймленных лентами из 5-гонов и разделенных полосами со сдвоенными прямыми лентами из 5-гонов. Ленты параллельны меридианам и параллелям. При сужении сдвоенных лент 5-гоны из удлиненных становятся короткими. Ленты из 6-гонов выклиниваются, их число, равное на экваторе шести, уменьшается к полюсам почти вдвое, причем 6-гоны также уменьшаются. Нами определены формулы корон вершин Вг и n-гонов Гр для отчетливо видных участков поверхности: Вг 3 – |a|<3>, |555, 666|, |ab|<21>, |556, 665, 550|, Гр 5 – |ab|<41>, |55550|, |abac|<1112>, |50566|, 6 – |a|<6>, |666666|, |ab|<42>, |666655|.

Поверхность другого организма (рис. 2 б) состоит только из лент 6-гонов. Сетка Кеплера-Шубникова 6<3> (графитовая) надета на шар. Это стало возможным благодаря деформации 6-гонов и воротничку, состоящему из мелких 4–6-гонов. Ленты параллельны мередианам и параллелям. Дефект из 7-гона и 5-гона образовались вместо 6-гонов. Ближе к полюсам 6-гоны заменяются на n-гоны с n= 8, 5, 4, 3. Координация краевых n-гонов не ясна и не рассматривается. Дефекты 55 образуются из 8-гона сближением пары вершин. Из двух 5-гонов удалением общего ребра образуется 8-гон. Образование пары 57 произошло из-за противостояния угла большого 6-гона двум углам маленьких 6-гонов. Формулы Вг и Гр поверхности рис. 2б: Вг 3 – |a|<3>, |666|, |ab|<21>, |448, 556, 664, 665, 667, 668|, |abc|<111>, |356, 567|, 4 – |abc|<211>, |5534, 6645, 6638|, |ab|<22>, |5566|, |abac|<1111>, |4548|, |abcd|<1111>, |3465, 3548|, Гр 3 – |abc|<111>, |568|, 4 – |abc|<211>, |6658|, 5 – |ab|<41>, |66667, 66665|, 6 – |a|<6>, |666666|, |ab|<51>, |666665, 666668|, |abc|<411>, |666635, 666658|, |abc|<311>, |666485|, 7 – |ab|<61>, |6666665|, 8 – |abacd|, <11114>, |65634444|.

Буквенные формулы с коэффициентами (см. рис. 2 а): Вг 3 – |a|<3>, |ab|<21>, Гр 5 – |ab|<41>, |abac|<1112>, 6 – |a|<6>, |ab|<42>, (рис. 2 б): Вг 3 – |a|<3>, |ab|<21>, |abc|<111>, 4 – |abc|<211>, |ab|<22>, |abac|<1111>, |abcd|<1111>, Гр 3 – |abc|<111>, 4 – |abc|<211>, 5 – |ab|<41>, 6 – |a|<6>, |ab|<51>, |abc|<411>, |abc|<311>, 7 – |ab|<61>, 8 – |abacd|<11114>.

Переходим к анализу слабо псевдосимметричной поверхности (рис. 3 а), где от центра проходят пять линий псевдосимметрии. Однако, n-гоны так искажены, что 5-гону оказывается симметричным 4-гон, 6-гон, и т. д. Тем не менее, в короне первого порядка, состоящей из 3-, 4-, 5-гонов, между линиями псевдосимметрии находится три n-гона, в короне второго порядка по два n-гона, а в коронах следующих порядков по четыре n-гона. Сохраняется видимость оси пятого порядка по числу n-гонов. Составы и буквенные формулы корон 1-4 порядка: {345}<177>, |abababababc|<11221122111>, {78}<64>, |ababab|<321121>, {56}<.11.9>, |abababababab|<311112222221>, {56}<3.17>, |abab|<132.14>. В ленты вдоль меридианов и параллелей вставляются достаточно регулярные вшивки. От сетки Кеплера-Шубникова |6|<3> сохраняются лишь двойные ленты, и две короны, да и то с частичным замещением 6-гонов на 5-гоны. Интересно отметить, что во второй короне нет пяти 6-гонов, в третьей короне нет одиннадцати 5-гонов, а в следующей их всего три. Приводим локальную координацию вершин и n-гонов. Примыкающие к внешней окружности n-гоны не рассматриваются, так как их форма может быть иной.

Буквенные формулы: Вг 3 – |a|<3>, |ab|<21>, |abc|<111>, 4 –|ab|<31>, |abc|<211>, Гр 3 – |abc|<111>, 5 – |ab|<41>, |abc|<311>, |abc|<221>, |abac|<1112>, |abcd|<2111>, 6 – |ab|<51>, |ab|<42>, |abc|<411>, |abc|<321>, |abab|<2211>, |abac|<3111>, |abcd|<3111>, |ababc|<21111>, abacd|<12111>, 7 – |abacd|<21211>, |abcade|<111112>, |abcade|<111211>, |abcade|<121111>, |abacadc|<1111111>, |abacade|<1111111>, 8 – |abacbd|<211121>, |abcadc|<221111>, |abcade|<311111>, |abacade|<1111112>,

На рис. 3 б приведена поверхность, которая сохранила воспоминание о симметрии в виде центрального 5-гона и пяти ветвящихся каналов. Вдоль каналов можно проследить полоски из n-гонов. Можно проследить обрывки лент вдоль меридиональных и экваториальных линий. Но выделение их не однозначно. Если 5-гоны и 7-гоны по отдельности изолированы или образуют небольшие цепочки, то совместно они комбинируются в более длинные цепочки-прожилки или пятна. Скопления из 6-гонов обволакивают прожилки из 5-, 7-гонов.

Приводим буквенные формулы с коэффициентами: Вг 3 – |a|<3>, |ab|<21>, |abc|<111>, 4 – |ab|<31>, Гр 5 – |a|<5>, |ab|<41>, |ab|<32>, |abc|<311>, |abc|<221>, |abac|<1112>, |abac|<2111>, |ababc|<11111>, 6 – |a|<6>, |ab|<51>, |ab|<33>, |abc|<411>, |abc|<321>, |abab|<2211>, |abac|<3111>, |abac|<1113>, |abac|<2121>, abac|<1212>, |abcd|<2121>, |abacd|<21111>, |ababc|<11211>, |ababc|<11112>, |ababc|<12111>, |ababac|<111111>, |abcabc|<111111>, 7 – |ab|<61>, |ab|<52>, |abab|<4121>, |abac|<1321>, |ababc|<31111>, ababc|<11311>, |ababc|<12121>, |ababac|<1111112>, |abababc|<1111111>, 8 – |abacacb=ababcac|<1111211=1121111>.

На рис. 4 а приведена поверхность, на которой остался только псевдопентагон, расчлененный на более мелкие области. Если на рис. 4 а имеется хотя бы видимость пентагона, то на рис. 4 б исчезла даже улыбка чеширского кота. Почему? Может быть, на этот вопрос смогут ответить биологи или специалисты по росту кристаллов. Однако четко прослеживается жесткий локальный порядок. Почему он такой в данной точке – не очевидно, но что он будет представлен одной из приводимых формул – это обязательно, потому что при заданных природой ограничениях другого порядка быть не может. На обеих поверхностях наблюдаются те же картины, что и ранее. Редкие большие n-гоны сосредоточены около центрального 5-гона или разбросаны по поверхности в виде изолированных включений или в виде небольших цепочек. Прослеживаются прямые и волнистые цепочки, а также смыкающиеся области из 5- и 6-гонов. Приводим формулы корон вершин и n-гонов (для рис. 4 а):

Вг 3 – |a|<3>, |ab|<21>, |abc|<111>, 4 – |ab|<31>, |abac|<1111>, Гр 4 – |abab|<1111>, |abac|<1111>, 5 – |abac|<2111>, |ababc|<11111>, |abcde|<11111>, 7 – |abab|<3121>, |abac|<3121>, |abcade|<211111>, |abacabd|<1111111>, (рис. 4б): Вг 3 – |a|<3>, |ab|<21>, |abc|<111>, 4 – |ab|<31>, |ab|<22>, |abc|<211>, |abab|<1111>, |abac|<1111>, |abcd|<1111>, 5 – |abc|<221>, Гр 3 |abc|<111>, 4 – |ab|<31>, |ab|<22>, |abc|<211>, |abac|<1111>, |adcd|<1111>, 5 – |ab|<41>, |ab|<32>, |abc|<311>, |abab|<2111>, |abac|<2111>, |abac|<1112>, |abcd|<2111>, |ababc|<11111>, |abacd|<11111>, 6 – |ab|<51>, |abab|<3111>, |abab|<2211>, |abac|<2211>, |abac|<2121>, |abacd|<11112>, |abacad|<111111>, |abcabc|<111111>, 7 – |ab|<43>, abcd|<3121>, 9 – |ababacad|<21111111>.

Ранее нами были установлены 71 реализованная буквенная формула корон из последовательностей без коэффициентов (формулы в прямых скобках). Для формул из 1–5 букв возможно 9 формул. Все они реализованы. Из 6 букв возможны 13 формул, т. е. многообразие резко возрастает, но тем не менее, все они также реализованы. Из 24 возможных формул из 7 букв удалось найти 17 реализованных. Формулы из 8 и более букв известны, но их реализуемость случайна и достаточно редка. Приводим 46 формул из 1–7 букв. Реализованные формулы выделены полужирным шрифтом:

(1), 1, |a|, (1), 2, |ab|, (1), 3, |abc|, (3), 4, |abab|, |abac|, |abcd|, (3), 5, |ababc|, |abacd|, |abcde|, (13), 6, |ababab|, |ababac|, |ababcd|, |abacad|, |abacbc|, |abacbd|, |abacdc|, |abacde|, |abcabc|, |abcabd|, |abcadc|, |abcade|, |abcdef|, (24), 7, |abababc|, |ababacd|, |ababcac, |ababcdc|, |ababcde|, |ababcad|, |abacabc|, |abacabd|, |abacadc|, |abacade|, |abacbdc|, |abacbde|, |abacdbe|, |abacdbd|, |abacdce|, |abacdec|, |abacded|, |abacdef|, |abcabcd|, |abcabde|, |abcadce|, |abcadec|, |abcadef|, |abcdefg|.

В формулах содержатся сохраняющиеся части – модули. Наиболее распространены модули |ab|, |abab|, |abac|, |abc| и их комбинации. Модули сохраняются, так как это предопределено числом разных букв и построением последовательностей. Природа такова потому, что в данных условиях она не может быть другой, а только такой, какова она есть. И определяет это локальная координация, ее идентичность. На поверхности Земли различают разномасштабные зональности, жилы, прожилки, пятнистость, вкрапления, гнезда, и в рассмотренных поверхностях наблюдаются все эти n-гоны.

Литература

1. Заренков Н. А.Топология дробления в свете принципа Кюри // Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии. Тр. II Всеросс. науч. школы. Апатиты, 2006. С. 33–56.
2. Смирнова Н. Л.О законах и прогнозе // Cистема. Планета Земля (Нетрадиционные вопросы геологии): Матер XIV и XV науч. семинаров 2006-2007. М.: РОО «Гармония в строении Земли и планет», 2007. C. 7–17.
3. Смирнова Н. Л.Порядок и беспорядок в косной и живой природе // Минералогия и жизнь: Происхождение биосферы и коэволюция минерального и биологического миров, биоминералогия. Матер. IV международ. семинара. Сыктывкар: Геопринт, 2007. С. 27–29.

Подписи к рис. ст. Смирновой

Рис. 1. Из граней с одним значением n состоят полиэдры I(1-7), с двумя значениями nII(1–6) – III (1-2), с тремя III(3–5), IV(1–2), с четырьмя IV(3–5).

Рис. 2. Псевдосимметричные поверхности организмов с 4-, 5-, 7- и 8-гонами.

Рис. 3. Слабо псевдосимметричные поверхности 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-гонов. Квадратом обозначены вершины со связностью 4.

Рис. 4. Участки поверхностей организмов с 4-, 5-, 6-, 7-, 8-гонами и более.