Блог

Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г.
“ЧЕРЧЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ” И ТЕОРЕМА МИНКОВСКОГО

“ЧЕРЧЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ” И ТЕОРЕМА МИНКОВСКОГО

Ю. Л. Войтеховский, Д. Г. Степенщиков

Геологический институт Кольского НЦ РАН, Апатиты, Россия

 

Точное изображение кристаллов долгое время было не только важным, но и обязательным инструментом констатации его формы как научного факта. Апофеозом этого стиля в минералогии стала многотомная энциклопедия “AtlasderKrystallformen” В. Гольдшмидта, вобравшая все известные на начало ХХ века и вызывающие доверие зарисовки кристаллов. В российской научной литературе разработке методов измерения, обработки результатов и изображения кристаллов также уделялось много внимания. Примерами являются работы О. М. Аншелеса и В. Б. Татарского [2]. За время, прошедшее с их выхода, техническая вооруженность исследований выросла неизмеримо. Благодаря проникающим методам анализа, современного минералога и кристаллографа в большей мере интересуют нюансы структуры, нежели формы кристалла. Пожалуй, лишь уральская минералогическая школа сохранила к ней трепетное отношение [4]. На фоне угасающего интереса к формам кристаллов любопытно задуматься над тем, в какой мере изменилась концептуальная основа описания хотя бы плоскогранных форм, наиболее близких к идеальным.

Оттолкнемся от слов, с которых начинается статья В. Б. Татарского [2, c. 48]: “Пользуясь стереографической проекцией, можно получить ортогональную проекцию кристалла, иначе говоря, вычертить внешний вид его. Если не преследуется специальных целей, кристалл изображают в его идеальном виде, т. е. предполагают, что все грани, принадлежащие к одной простой форме, развиты одинаково. Стереографическая проекция дает взаимный наклон граней, но, кроме этого, необходимо знать об относительном развитии простых форм. От того или иного развития кристалла зависит его габитус (облик). Форма граней и то, с какими другими гранями соприкасается данная, во многом зависит от их относительной величины (простейший пример этого – рис. 10, где “а” и “b” изображают одну и ту же комбинацию куба и октаэдра [1]). Поэтому при вычерчивании надо иметь перед собой кристалл или хотя бы грубый его эскиз с натуры, где была бы приблизительно показана форма и величина граней ”.

Обращают внимание две фразы. 1. “Если не преследуется специальных целей, кристалл изображают в его идеальном виде”. Не только на сегодня, но и на момент написания работы [2] минералогическая кристаллография повернулась лицом к неидеальным кристаллам, переведя их из разряда специальных в разряд нормальных и судя об их генезисе именно из аномалий. Поэтому приведенную фразу можно объяснить лишь тем, что гониометрическое описание кристалла, состоящее в перечислении простых форм, было и остается массовым методом, тогда как более точное описание его формы так и не нашло аппаратурной реализации. 2. “Форма граней и то, с какими другими гранями соприкасается данная, во многом зависит от их относительной величины”. Первая половина этой фразы неявно использует математическое понятие комбинаторного типа полиэдра и отсылает нас к проблеме перечисления полного комбинаторного многообразия выпуклых полиэдров. Среди других геометров ей успешно занимался Е. С. Федоров. В целом, применительно к кристаллическим полиэдрам, для которых ориентация граней известна, она представляет собой пересказ теоремы Г. Минковского.

Для однозначного описания выпуклого полиэдра важно знать, какими параметрами он фиксируется однозначно. Соответствующая теорема доказана Г. Минковским в 1886 г.: для этого достаточны ориентировки нормалей к граням (или их кристаллографические индексы) и площади последних. При этом линейная комбинация нормалей с коэффициентами-площадями равна нулю: Ssini= 0, где ni – нормаль, si – площадь i-той грани [1]. Теорема не дает способа построения полиэдра с подходящими параметрами, но указывает на его существование и единственность. Для целей минералогической кристаллографии описание полиэдра через ориентировки нормалей и площади граней предпочтительнее, чем через ориентировки и длины нормалей. Прямое измерение расстояний от внутренней точки (например, точки начала роста) кристалла до граней невозможно, а измерение площадей даже малых граней не представляет принципиальных трудностей [3].

Авторами разработан алгоритм и программа построения формы выпуклого кристалла в соответствии с условиями теоремы Г. Минковского. В качестве исходных данных указываются сингония кристалла, углы между осями координат, элементарные параметры вдоль осей, индексы граней и строго соответствующие им абсолютные или относительные (в этом случае полиэдр определен с точностью до подобия) значения площадей. На первом шаге индексы граней пересчитываются в ориентации единичных нормалей в заданной системе координат. Т. е. все грани ориентированы должным образом и удалены от начала координат на равное расстояние. Затем вычисляются площади каждой грани. Далее каждая грань сдвигается вдоль нормали в ту или иную сторону в зависимости от соотношения вычисленной и требуемой площадей. После этого снова вычисляются площади граней и цикл повторяется. На некотором шаге грани перестают направленно смещаться и колеблются у положения равновесия. На этом построение полиэдра завершается. Величина элементарного сдвига граней определяет погрешность и, с другой стороны, время построения полиэдра. Неизбежная погрешность измерения граней приводит к невыполнению равенства Ssini= 0 и также вносит погрешность в построение формы. Тем не менее, алгоритм и в этом случае дает хороший результат. Он протестирован на хорошо ограненных альмандинах из месторождений Зап. Кейв, Кольский п-ов.

Типичное месторождение абразивного граната Зап. Кейв представляет собой блок кристаллических сланцев протяженностью в первые сотни и мощностью в первые десятки метров с более или менее крутым (до субвертикального) падением. Насыщенность сланцев гранатом составляет 10–30, в обогащенных участках до 50–60 % объема. Размер кристаллов составляет 3–5, редко до 15–20 см. Запасы месторождения по категории С – первые сотни, самой богатой части – десятки тысяч тонн. Верхняя часть месторождения вдоль зон просачивания дождевых и талых вод по сланцеватости превращена в дресву, насыщенную хорошо ограненными гранатами, представляющими коллекционный интерес. Отдельные блоки кристаллов представляют ювелирную ценность. Горнотехнические условия отработки месторождений благоприятные – они расположены на легко доступных для отработки карьерами вершинах пологих сухих холмов. Именно таковы месторождения г. Макзапахк, г. Березовой, г. Тахлинтуайв, оз. Ровозеро, г. Круглой.

В ходе полевого сезона авторы посетили месторождение г. Круглой (рис. 1), где собрали более 1000 хорошо ограненных кристаллов граната для изучения их природного комбинаторного разнообразия. Для нескольких кристаллов с помощью миллиметровой палетки были максимально тщательно измерены площади граней. Компьютерная программа рассчитала и построила их формы, визуально неотличимые от оригиналов (рис. 2). Удобство компьютерной программы состоит в том, что полученные таким образом “трехмерные фотографии” кристаллов можно масштабировать и вращать на дисплее.

Таким образом, в силу теоремы Г. Минковского, современное состояние дел в “черчении кристаллов” характеризуется пониманием одинаковой важности как угловых, так и площадных соотношений между их гранями. Традиционный приоритет угловых соотношений в описании кристалла обусловлен тем, что именно они звучат в “законе постоянства углов”. Тем самым они являются фундаментальными константами кристалла. Наоборот, площадные соотношения между гранями в обобщенном виде чувствительны к условиям и механизмам роста и тем самым являются индикаторами последних. Так геометрическая теорема Г. Минковского удивительным образом сочетает в себе инвариантные и вариабельные характеристики кристаллических полиэдров.

 

Литература

  1. Александров А. Д.Выпуклые многогранники. М. –Л.: Гостехиздат, 1950. 220 с.
  2. Аншелес О. М.Таблицы формул для вычисления кристаллов. Татарский В. Б. Инструкция по черчению кристаллов. Л.: ЛГУ, 1934. 58 с.
  3. Глазов А. И.Методы морфометрии кристаллов. Л.: Недра, 1981. 147 с.
  4. Попов В. А., Попова В. И.Минералогия пегматитов Ильменских гор / Минералогический альманах, т. 9. М.: Экост, 2006. 152 с.

  

Подписи к рисункам ст. Войтеховского

 

Рис. 1. Выходы гранат-мусковитовых кристаллических сланцев на вершине г. Круглой (а) с крупными ромбододекаэдрами альмандина с хорошей огранкой (б).

 

Рис. 2. Форма кристаллов альмандина зависит от соотношения площадей граней (даны в условных единицах после кристаллографических символов).

 

[1] В конце статьи рисунок помещен под № 11 без индексации “a” и “b” и ошибочно отнесен к с. 52. Один из полиэдров представляет собой октаэдр с вершинами, срезанными относительно малыми и равными квадратными гранями. Второй полиэдр представляет собой куб с вершинами, срезанными относительно малыми и равными треугольными гранями.